Đề Kiểm Tra: Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 7
Câu 1:
Môđun của số phức \(1 + 2i\) bằng
\(\sqrt 5 \).
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 4z – 2 = 0\). Tính bán kính \(r\) của mặt cầu.
\(r = \sqrt[{}]{2}\).
Câu 3:
Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 2\)
Điểm \(M( - 1;0)\).
Câu 4:
Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng \(36\pi \) là
\(36\pi \)
Câu 5:
Tính \(I = \int {{3^x}} \,{\text{d}}x\).
\(I = {3^x} + C\).
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau: Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
\(2\).
Câu 7:
Nghiệm của bất phương trình \({3^{2x + 1}} > {3^{3 – x}}\) là:
\(x > - \frac{2}{3}\)
Câu 8:
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là \(3{a^2}\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp bằng
\(6{a^3}\).
Câu 9:
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {2 – x} \right)^{\sqrt 3 }}\) là:
\(D = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Câu 10:
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _3}\left( {x – 1} \right) = 2.\)
\(S = \emptyset \).
Câu 11:
Giả sử \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 37\) và \(\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\text{d}}x} = 16\). Khi đó, \(I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\text{d}}x} \) bằng:
\(I = 122\).
Câu 12:
Cho số phức \(z = 2 – 3i\). Số phức \(w = – 3z\) là
\(w = 6 - 9i\).
Câu 13:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\vec n = \left( { - 2;\, - 1;\,1} \right)\).
Câu 14:
Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\vec a = \left( {2\,;\,3\,;\,2} \right)\) và \(\vec b = \left( {1\,;\,1\,;\, – 1} \right)\). Vectơ \(\vec a – \vec b\) có tọa độ là
\(\left( {3\,;\,5\,;\,1} \right)\).
Câu 15:
Trên mặt phẳng tọa độ, biết \(M\left( { – 3\,;\,1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\). Phần ảo của \(z\) bằng
\( - 1\).
Câu 16:
Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) là:
\(x = - 1\); \(y = - 2\).
Câu 17:
Với a,b là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1\), \({\log _{{a^3}}}b\) bằng
\(3 + {\log _a}b\)
Câu 18:
Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = {x^4} + 2{x^2} + 1\).
Câu 19:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\). Điểm nào dưới đây thuộc d?
\(P\left( {2;1; - 3} \right).\)
Câu 20:
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(6\) học sinh thành một hàng dọc?
\(6!\).
Câu 21:
Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là \(3{a^2}\), độ dài cạnh bên bằng \(2a\). Thể tích khối lăng trụ này bằng
\(6{a^3}\)
Câu 22:
Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {3x – 1} \right)\) với \(x > \frac{1}{3}.\)
\(f'\left( x \right) = \frac{{3\ln 2}}{{\left( {3x - 1} \right)}}\).
Câu 23:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\; + \infty } \right)\).
Câu 24:
Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5{\text{cm}}\), chiều cao \(h = 7{\text{cm}}\). Tính diện tích xung quang của hình trụ.
Cho \(\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_{ – 1}^2 {g\left( x \right){\text{d}}x} = – 1\). Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) – 3g\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} \)
\(I = \frac{{11}}{2}\).
Câu 26:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_3} = 2\) và \({u_4} = 6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\( - 2\).
Câu 27:
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\) là
\(6x + \cos x + C\).
Câu 28:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn có \(\left[ { – 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
\(M\left( {1; - 2} \right)\).
Câu 29:
Trên đoạn \(\left[ {1\,;\,5} \right]\), hàm số \(y = x + \frac{9}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
\(x = 1\).
Câu 30:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của chúng
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).
Câu 31:
Với mọi \(a\), \(b\), \(x\) là các số thực dương thoả mãn \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,CD\). Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(B'D'\) là
\({45^{\text{o}}}\).
Ta có \(MN//A'C'\)mà \(A'C' \bot B'D'\)\( \Rightarrow MN \bot B'D'\).
Câu 33:
Cho \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right){\text{d}}x = – 2} \). Tích phân \(\int\limits_0^5 {\left[ {4f\left( x \right) – 3{x^2}} \right]{\text{d}}x} \) bằng
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x – 2y + 2z + 7 = 0,\left( \beta \right):5x – 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) đồng thời vuông góc với cả\(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là:
\(2x + y - 2z + 1 = 0.\)
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; – 2;2} \right)\),\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; – 4;3} \right)\).\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; – 2} \right)\)Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\),VTPT \(\vec n = \left( {2;1; – 2} \right)\): \(2x + y – 2z = 0.\)
Câu 35:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\bar z\left( {1 + 2i} \right) = 4 – 3i\). Phần ảo của số phức \(z\)bằng
\(\frac{{\text{2}}}{{\text{5}}}\).
Vì \(\bar z\left( {1 + 2i} \right) = 4 – 3i\) nên \(\bar z = \frac{{4 – 3i}}{{1 + 2i}}\)\( = \frac{{\left( {4 – 3i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{{1^2} + {2^2}}}\)\( = \frac{{ – 2 – 11i}}{5}\)\( = \frac{{ – 2}}{5} – \frac{{11}}{5}i\).Suy ra \({\text{z}} = \frac{{ – 2}}{5} + \frac{{11}}{5}i\).Vậy phần ảo của \(z\) là \(\frac{{11}}{5}\).
Câu 36:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = {60^{\text{o}}}\), cạnh \(SO\)vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\)và \(SO = a\). Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SBC} \right)\) là
Một hộp chứa \(30\) thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(30\). Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó. Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho \(3\).
\(\frac{3}{{10}}\).
Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 30\).Gọi \(A\) là biến cố: “Thẻ lấy được là số lẻ và không chia hết cho \(3\)”.\( \Rightarrow A = \left\{ {1;5;7;11;13;17;19;23;25;29} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10\).Xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho \(3\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)\( = \frac{{10}}{{30}}\)\( = \frac{1}{3}\).
Câu 38:
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;2;0),\,B(1;1;2)\) và \(C(2;3;1)\). Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là
Gọi \(d\) là phương trình đường thẳng qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và song song với \(BC\).Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;2; – 1} \right)\)\( \Rightarrow d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}\).
Câu 39:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{4^x} – {{65.2}^x} + 64} \right)\left[ {2 – {{\log }_3}\left( {x + 3} \right)} \right] \geqslant 0\)có tất cả bao nhiêu số nguyên?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm cấp 2 trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(f'\left( x \right)\)là đường cong trong hình vẽ bên.Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right) – 1} \right).\) Gọi \(S\)là tập nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0.\) Số phần tử của tập \(S\) là
\(9\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm cấp 2 trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\)và \(f'\left( x \right)\)xác định trên \(\mathbb{R}.\)Do đó, tập xác định của hàm số \(g\left( x \right)\)là \(D = \mathbb{R}.\)Ta có: \(g'\left( x \right) = f''\left( x \right).f'\left( {f'\left( x \right) – 1} \right),{\text{ }}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f''\left( x \right) = 0 \hfill \\ f'\left( {f'\left( x \right) – 1} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{ – 1}}{3} \hfill \\ x = 1 \hfill \\ x = {x_0} \in \left( {1{\text{ ; 2}}} \right) \hfill \\ f'\left( x \right) – 1 = – 1 \hfill \\ f'\left( x \right) – 1 = 1 \hfill \\ f'\left( x \right) – 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)Từ đồ thị ta cũng có: \(f'\left( x \right) – 1 = – 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1{\text{ }} \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}.\) \(f'\left( x \right) – 1 = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {x_1} \in \left( { – \infty {\text{ ; – 1}}} \right) \hfill \\ x = {x_2} \in \left( {{\text{2 ; + }}\infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..\) \(f'\left( x \right) – 1 = 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {x_3} \in \left( { – \infty {\text{ ; }}{x_1}} \right) \hfill \\ x = {x_4} \in \left( {{x_2}{\text{ ; + }}\infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..\)Vậy phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 9 nghiệm.
Câu 41:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \cos x.{\cos ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = – \frac{{121}}{{225}}\), khi đó \(F\left( \pi \right)\) bằng
\(\frac{{149}}{{225}}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \cos x.{\cos ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\).Có \(\int {f'\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\cos x.{{\cos }^2}2x{\text{d}}x} = \int {\cos x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}{\text{d}}x} = \int {\frac{{\cos x}}{2}{\text{d}}x + \int {\frac{{\cos x.\cos 4x}}{2}{\text{d}}x} } \)\( = \frac{1}{2}\int {\cos x} {\text{d}}x + \frac{1}{4}\int {\left( {\cos 5x + \cos 3x} \right){\text{d}}x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{{20}}\sin 5x + \frac{1}{{12}}\sin 3x + C} \).Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{{20}}\sin 5x + \frac{1}{{12}}\sin 3x + C,\forall x \in \mathbb{R}\). Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).Do đó \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{{20}}\sin 5x + \frac{1}{{12}}\sin 3x,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó: \(\begin{gathered} F\left( \pi \right) – F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{{20}}\sin 5x + \frac{1}{{12}}\sin 3x} \right){\text{d}}x} \hfill \\ = \left. {\left( { – \frac{1}{2}\cos x – \frac{1}{{100}}\cos 5x – \frac{1}{{36}}\cos 3x} \right)} \right|_0^\pi = \frac{{242}}{{225}} \hfill \\ \Rightarrow F\left( \pi \right) = F\left( 0 \right) + \frac{{242}}{{225}} = – \frac{{121}}{{225}} + \frac{{242}}{{225}} = \frac{{121}}{{225}} \hfill \\ \end{gathered} \).
Câu 42:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a\) và \(AD = 2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\).
Cho phương trình \({x^2} – 4x + \frac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức. Gọi \(A\), \(B\) là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng \(Oxy\). Biết tam giác \(OAB\) đều, tính \(P = c + 2d\).
\(P = - 10\).
Ta có: \({x^2} – 4x + \frac{c}{d} = 0\)có hai nghiệm phức\( \Leftrightarrow \) \(\Delta ' = 4 – \frac{c}{d} < 0\).Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức \({x_1} = 2 + \sqrt {\left| {\Delta '} \right|} \,i\); \({x_2} = 2 - \sqrt {\left| {\Delta '} \right|} \,i\).Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là hai điểm biểu diễn của \({x_1}\); \({x_2}\) trên mặt phẳng \(Oxy\) ta có: \(A\left( {2\,;\,\sqrt {\left| {\Delta '} \right|} } \right)\); \(B\left( {2\,;\, - \sqrt {\left| {\Delta '} \right|} } \right)\).Ta có: \(AB = 2\sqrt {\left| {\Delta '} \right|} \); \(OA = OB = \sqrt {4 + \left| {\Delta '} \right|} \).Tam giác \(OAB\) đều khi và chỉ khi \(AB = OA = OB \Leftrightarrow 2\sqrt {\left| {\Delta '} \right|} = \sqrt {4 + \left| {\Delta '} \right|} \Leftrightarrow 4\left| {\Delta '} \right| = 4 + \left| {\Delta '} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\Delta '} \right| = \frac{4}{3}\). Vì \(\Delta ' < 0\) nên \(\Delta ' = - \frac{4}{3}\) hay \(4 - \frac{c}{d} = - \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{d} = \frac{{16}}{3}\).Từ đó ta có \(c = 16\); \(d = 3\).Vậy: \(P = c + 2d = 22\).
Câu 44:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\); \({d_2}:\frac{{x – 5}}{{ – 3}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z – 5 = 0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là
Phương trình \({d_1}:\left\{ \begin{gathered} x = 3 – {t_1} \hfill \\ y = 3 – 2{t_1} \hfill \\ z = – 2 + {t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{gathered} x = 5 – 3{t_2} \hfill \\ y = – 1 + 2{t_2} \hfill \\ z = 2 + {t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \).Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt tại \(A\), \(B\).Gọi \(A\left( {3 – {t_1};3 – 2{t_1}; – 2 + {t_1}} \right)\), \(B\left( {5 – 3{t_2}; – 1 + 2{t_2};2 + {t_2}} \right)\).\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 – 3{t_2} + {t_1}; – 4 + 2{t_2} + 2{t_1};4 + {t_2} – {t_1}} \right)\).Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {1;2;3} \right)\).Do \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\) cùng phương nên \(\frac{{2 – 3{t_2} + {t_1}}}{1} = \frac{{ – 4 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{2} = \frac{{4 + {t_2} – {t_1}}}{3}\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2 – 3{t_2} + {t_1}}}{1} = \frac{{ – 4 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{2} \hfill \\ \frac{{ – 4 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{2} = \frac{{4 + {t_2} – {t_1}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {t_1} = 2 \hfill \\ {t_2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\). Do đó \(A\left( {1; – 1;0} \right)\), \(B\left( {2; – 1;3} \right)\).Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; – 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec n = \left( {1;2;3} \right)\) là \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).
Câu 45:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sauCó bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) + \frac{1}{2}m.{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) – 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)?\)
\(15\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến khi\(g'\left( x \right) = {f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) + mf\left( x \right)f'\left( x \right) + 3f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + mf\left( x \right) + 3} \right] \leqslant 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + mf\left( x \right) + 3 \geqslant 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + mf\left( x \right) + 3 \geqslant 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\)Đặt \(t = f\left( x \right) \in \left[ {1;3} \right],\forall x \in \left[ {0;1} \right].\) Cần tìm điều kiện để \({t^2} + mt + 3 \geqslant 0,\forall t \in \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow m \geqslant g\left( t \right) = – t – \frac{3}{t},\forall t \in \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( t \right) = g\left( {\sqrt 3 } \right) = – 2\sqrt 3 \)Vậy \(m \in \left\{ { – 3,…,10} \right\} \Rightarrow \) có \(14\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 46:
Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = 2\), \(\left| {2{z_1} – 3{z_2} – 7i} \right| = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – 2i} \right| + \left| {{z_2} + i} \right|\) bằng
Cho hai hàm số\(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – x;\) với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f\left( x \right) – g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( – 1,\,2\) và \(3\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng
\(\frac{{32}}{3}\).
Ta có : \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + 3\) và \(g'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2nx – 1\).\(h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( – 1,\,2\) và \(3\) khi\(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) – g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt là \( – 1,\,2\) và \(3\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) – g'\left( x \right) = t\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\) \(\left( {t = 4a} \right)\)\(\left( * \right)\)Thay \(x = 0\) vào hai vế của \(\left( * \right)\) ta được: \(f'\left( 0 \right) – g'\left( 0 \right) = 6t \Leftrightarrow 3 – \left( { – 1} \right) = 6t \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) là\(S = \int\limits_{ – 1}^3 {\left| {\frac{2}{3}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \right|{\text{d}}x = } \frac{{71}}{9}\).
Câu 48:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2}}} = {4^{x + y}}\)
\(2\).
\(\begin{gathered} {3^{{x^2} + {y^2}}} = {4^{x + y}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\log _3}{4^{x + y}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = (x + y){\log _3}4 \hfill \\ \Leftrightarrow {y^2} – y{\log _3}4 + {x^2} – x{\log _3}4 = 0,\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \)Ta xem phương trình \(\left( * \right)\) là phương trình ẩn\(y\), tham số \(x\).Phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm thực \(y\)\( \Leftrightarrow \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( { – {{\log }_3}4} \right)^2} – 4({x^2} – x{\log _3}4) \geqslant 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{(1 – \sqrt 2 ){{\log }_3}4}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{(1 + \sqrt 2 ){{\log }_3}4}}{2}\),\(\left( {*'} \right)\).Do đó có hai số nguyên \(x = 0\) và \(x = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 49:
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1.\) Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\) cắt các trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;b;0} \right)\) mà \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\widehat {AMB} = 90^\circ ?\)
\(3\).
Gọi \(K\) là tâm mặt cầu và \(I\) là trung điểm \(AB\)Ta có tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) và \(I\) là trung điểm \(AB\) suy ra \(MI = \frac{1}{2}AB = OI\) (\(O\) là gốc tọa độ )\(\begin{gathered} O{I^2} = M{I^2} \Leftrightarrow O{I^2} = K{I^2} – M{K^2} \Leftrightarrow K{I^2} – O{I^2} = M{K^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_I} – 2} \right)^2} + {\left( {{y_I} – 3} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} – \left( {x_I^2 + y_I^2 + z_I^2} \right) = 1 \Leftrightarrow 6{x_I} + 4{y_I} + 2{z_I} = 13 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{x_I} + 4{y_I} = 13\,\,(do\,{z_I} = 0) \Leftrightarrow 3{x_A} + 2{y_B} = 13 \Leftrightarrow 3a + 2b = 13 \hfill \\ \end{gathered} \)Mà \(a,b\)nguyên dương suy ra chỉ có hai cặp thỏa \(\left( {1;5} \right);\left( {3;2} \right)\). Ứng với mỗi cặp điểm\(A\), \(B\)thì có duy nhất một điểm \(M\)thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 50:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 12{x^3} + 30{x^2} + \left( {3 – m} \right)x\), với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng \(7\) điểm cực trị?
\(27.\)
Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} – 36{x^2} + 60x + 3 – m.\)Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng \(7\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 3 điểm cực trị dương phân biệt, hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm dương phân biệt.Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 36{x^2} + 60x + 3 – m = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 36{x^2} + 60x + 3 = m\) \(\left( 1 \right).\)Yêu cầu bài toán là phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm dương phân biệt.Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4{x^3} – 36{x^2} + 60x + 3\)\(h'\left( x \right) = 12{x^2} – 72x + 60\) suy ra \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right..\)Bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right)\)Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(3 < m < 31\), vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
TaiEbook.vn là nền tảng chia sẻ tài liệu học tập và sách PDF miễn phí, hỗ trợ học sinh, sinh viên và giáo viên tiếp cận kho tri thức chất lượng. Website cung cấp đa dạng tài liệu từ giáo trình, đề thi, bài giảng đến sách tham khảo thuộc nhiều cấp học và lĩnh vực khác nhau. Tất cả nội dung đều được định dạng PDF, dễ dàng tải về và sử dụng mọi lúc, mọi nơi. Giao diện thân thiện, thao tác nhanh chóng, không cần đăng ký tài khoản. TaiEbook.vn – nơi học tập dễ dàng bắt đầu chỉ với một cú click!
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có \(MN//A'C'\)mà \(A'C' \bot B'D'\)\( \Rightarrow MN \bot B'D'\).
Vẽ \(OM \bot BC\)tại \(M\) thì \(\left( {SMO} \right) \bot BC\)\( \Rightarrow \left( {SMO} \right) \bot \left( {SBC} \right)\), vẽ \(OH \bot SM\) tại \(H\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\)Ta có \(AC = a\sqrt 3 \), \(OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(OB = \frac{a}{2}\), \(OM.BC = OB.OC\)\( \Rightarrow OM = \frac{{OB.OC}}{{BC}}\)\( = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).\(OH = \frac{{SO.MO}}{{\sqrt {S{O^2} + M{O^2}} }}\)\( = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{{16}}} }}\)\( = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{{16}}} }}\)\( = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right) – 1} \right).\) Gọi \(S\)là tập nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0.\) Số phần tử của tập \(S\) là
Kẻ \(AE \bot BD\)\(\left( {\widehat {\left( {SBD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SEA} = {60^0}\)Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\)\(AE = \frac{{AD.AB}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(A\)\(SA = AE.\tan {60^0} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\)Khi đó thể tích \(S.ABCD\)\(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt {15} }}{5}.2{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) + \frac{1}{2}m.{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) – 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)?\)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(3 < m < 31\), vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.